今天思考一个问题的时候，考虑到把空间中一个点投影到一个向量上，也就是project-point-to-vector，发现原来自己想不出来，惟有求助google，算法理解。——ZwqXin.com
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事情是这样的，在OPENGL中，点的坐标定义于其模型坐标系XYZ，现在我经过某个转换生成了另一个3维坐标系X'Y'Z'，反映于原坐标系，就是三个满足正交的方向向量，干脆叫做X'和Y'和Z'。现在我有一个定义于模型坐标系XYZ的点阵，我需要把这些点分别投影到X'和Y'和Z'上，求投影点坐标。
问题有点虚，所以考虑把这三个正交向量看作三条直线，问题就变成了：求点到直线的投影。考虑一个点和一条直线，描述这条直线需要两个点P1和P2 （顺带一提，P2 -P1就是相应的那向量），待投影的点叫P3。不妨设P3投影到该直线后所得的点是P3'，注意P3'与P1、P2 共线，因此必然有一个比例因子t，令
t * （P2 - P1） = P3' - P1
因此问题变为：已知P1、P2 、P3 ， P1和P2 共线，求比例因子t 。令vec1 = P3 - P1 ， vec2 = P2 - P1，显然dis = vec1 * vec2（点乘）就是vec1在vec2上的投影，既然vec1与vec2共享一个起点P1，那么dis就是P1到投影点P3'的距离了。于是
t = dis / length(P 1P2) = vec1 * vec2 / length(P 1P2)
= (P3 - P1) * (P2 - P1) / abs (P2 - P1)
= (P3 - P1) * (P2 - P1) / (P2 - P1) *(P2 - P1)
abs (P2 - P1)表示求模（也就是线段P 1P2的长度），abs (P2 - P1) = (P2 - P1) *(P2 - P1) 。由上两式子就能求出P3' 了。这么简单..........看来脑袋锈豆不浅。算法写进我的CVector3类里了。直线还原成向量的样子，相当于把直线用一个向量和一个参考点描述。
- //点到矢量vec2的投影，ori_vec2表示vec2起点（投影参照点）
- inline CVector3 Project2Vector(CVector3& vec2, CVector3 ori_vec2){
- CVector3 dir = (*this) - ori_vec2;
- double t = dir.DotProd(vec2) / vec2.DotProd(vec2);
- return ori_vec2 + vec2 * t;
- };
- //例子
- {
- CVector3 pt = CVector3(.....);//待投影的点
- CVector3 ori_pt = CVector3(.....);//投影参考点,也就是上文的P1
- CVector3 vector = CVector3(.....);//待投影于其上的某向量
- CVector3 point;
- point = pt .Project2Vector（vector， ori_pt ）；
- }
另：点到线段P 1P2的投影：
- CVector3 ClosestPointOnSegment(CVector3 p, CVector3 p1, CVector3 p2)
- {
- CVector3 diff = p-p1;
- CVector3 dir = p2-p1;
- float dot1 = dot(diff,dir);
- if (dot1 <= 0.0f) {
- return p1;
- }
- float dot2 = dot(dir,dir);
- if (dot2 <= dot1) {
- return p2;
- }
- float t=dot1/dot2;
- return p1 + t * dir;
- }
原文地址：http://www.zwqxin.cn/archives/arithmetic/project-point-to-line.html